Tính chất sơ cấp Bộ_ba_số

Tính chất sơ cấp Bộ_ba_số_Pythagoras

Trong một bộ ba Pythagoras nguyên thủy, ký hiệu:

Hai cạnh góc vuông: m 2 − n 2 {\displaystyle m^{2}-n^{2}} và 2 m n {\displaystyle 2mn} là 2 cạnh góc vuông a,b; trong đó 2 m n {\displaystyle 2mn} là cạnh góc vuông chẵn. c = m 2 + n 2 {\displaystyle c=m^{2}+n^{2}} là cạnh huyền.

Mối liên hệ khác giữa ba số trong bộ ba Pytagoras,

a + b = c + 2 ( c − a ) ( c − b ) 2 {\displaystyle a+b=c+2{\sqrt {\frac {(c-a)(c-b)}{2}}}}

(c − a)(c − b)/2 là số chính phương. Điều này rất có ích khi kiểm tra xem một bộ ba số có phải là bộ ba Pythagoras hay không, tuy vậy đây chỉ là điều kiện cần, chưa đủ. Ví dụ, bộ ba {6, 12, 8} thỏa mãn (c − a)(c − b)/2 là số chính phương, nhưng lại không phải là bộ ba Pythagoras. Điều kiện (nếu a là cạnh góc vuông chẵn) "(c − a) và (c − b)/2 đồng thời là số chính phương" chính là điều kiện cần và đủ để (a,b,c) lập thành bộ ba Pythagoras; bộ ba Pythagoras này có thể không nguyên thủy.
Nếu hai số bất kì trong bộ ba Pythagoras nguyên tố cùng nhau thì đó là bộ ba Pythagoras nguyên thủy.
Trong 3 số a, b, c có nhiều nhất một số chính phương.
Tồn tại vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy có cạnh huyền là số chính phương.
Tồn tại vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy có một cạnh góc vuông là số chính phương
Tổng và hiệu của cạnh huyền với cạnh góc vuông chẵn là hai số chính phương lẻ; trong hai số tổng và hiệu của cạnh huyền với cạnh góc vuông lẻ, có một số là tích của 2 với một số chính phương chẵn và một số là tích của 2 với một số chính phương lẻ:

( m 2 + n 2 ) + ( 2 m n ) = ( m + n ) 2 {\displaystyle (m^{2}+n^{2})+(2mn)=(m+n)^{2}} ( m 2 + n 2 ) − ( 2 m n ) = ( m − n ) 2 {\displaystyle (m^{2}+n^{2})-(2mn)=(m-n)^{2}} ( m 2 + n 2 ) + ( m 2 − n 2 ) = 2 m 2 {\displaystyle (m^{2}+n^{2})+(m^{2}-n^{2})=2m^{2}} ( m 2 + n 2 ) − ( m 2 − n 2 ) = 2 n 2 {\displaystyle (m^{2}+n^{2})-(m^{2}-n^{2})=2n^{2}}

Chu vi (P = a+b+c) là số chẵn (Vì trong ba số a, b, c có hai số lẻ và một số chẵn)
Diện tích (S = ab/2) là số đồng dư, chia hết cho 6 (Vì trong hai số a, b có một số lẻ và một số chẵn; có một số chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4)
Trong hai số a, b có một số lẻ và một số chẵn; c là số lẻ.

Chứng minh

Vì a, b, c là ba số nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên chúng không thể cùng là số chẵn.Giả sử a và b là số lẻ, c là số chẵnKhi đó: a 2 {\displaystyle a^{2}} và b 2 {\displaystyle b^{2}} chia 4 dư 1Suy ra: c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} chia 4 dư 2, vô lí vì c là số chẵn nên c 2 {\displaystyle c^{2}} chia hết cho 4.Do đó trong hai số a và b có một số lẻ và một số chẵn; c là số lẻ.

Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3.

Chứng minh

Mọi số chính phương đều chia hết cho 9 hoặc chia 3 dư 1.Giả sử trong a và b không có số nào chia hết cho 3.Khi đó: a 2 {\displaystyle a^{2}} và b 2 {\displaystyle b^{2}} chia 3 đều dư 1

Suy ra: c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} chia 3 dư 2, vô lí vì c 2 {\displaystyle c^{2}} là số chính phương.

Mặt khác a và b là hai số nguyên tố cùng nhau, do đó trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3.

Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4; và không có số nào có dạng 4k + 2.

Chứng minh

c là số lẻ nên không chia hết cho 4.

Mọi số chính phương chẵn chia hết cho 4; mọi số chính phương lẻ chia 8 dư 1.Trong a và b chỉ có một số chẵn.Giả sử trong a và b có một số chẵn, chia 4 dư 2.Do đó số chính phương của số chẵn này chia 8 dư 4

Suy ra: c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} chia 8 dư 5, vô lí vì c 2 {\displaystyle c^{2}} là số chính phương lẻ.

Do đó trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4.

Trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 5.

Chứng minh

Mọi số chính phương đều chia hết cho 25 hoặc chia 5 dư 1 hoặc 4.

Giả sử trong ba số a, b, c không có số nào chia hết cho 5. (*)Trường hợp 1: a 2 {\displaystyle a^{2}} và b 2 {\displaystyle b^{2}} chia 5 đều dư 1Khi đó: c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} chia 5 dư 2, vô lí vì c 2 {\displaystyle c^{2}} là số chính phương.Trường hợp 2: a 2 {\displaystyle a^{2}} và b 2 {\displaystyle b^{2}} chia 5 đều dư 4Khi đó: c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} chia 5 dư 3, vô lí vì c 2 {\displaystyle c^{2}} là số chính phương.Trường hợp 3: Trong 2 số a 2 {\displaystyle a^{2}} và b 2 {\displaystyle b^{2}} có một số chia 5 dư 1, một số chia 5 dư 4.Khi đó: c 2 = a 2 + b 2 {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}} chia hết cho 5, mâu thuẫn với (*).Mặt khác, a, b, c là ba số nguyên tố cùng nhau từng đôi một, do đó trong ba số a, b, c có đúng một số chia hết cho 5.

Trong bốn số a, b, (a + b), (b − a) có đúng một số chia hết cho 7.
Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia hết cho 8.

Chứng minh

Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 4Giả sử a chia hết cho 4Suy ra: a 2 {\displaystyle a^{2}} chia hết cho 16Suy ra: c 2 − b 2 {\displaystyle c^{2}-b^{2}} chia hết cho 16Suy ra: ( c + b ) ( c − b ) {\displaystyle (c+b)(c-b)} chia hết cho 16Vì a chia hết cho 4 nên b là số lẻSố c chia 4 dư 1 nên (c + b) và (c – b) là số chẵn; còn (c + b) và (c – b) là số lẻTrường hợp 1: Cả (c + b) và (c – b) đều chia hết cho 4Trường hợp 2: Trong 2 số (c + b), (c – b) có một số chia hết cho 8, số còn lại chia 4 dư 2Từ trường hợp 1 suy ra: b và c cùng chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 2, vô lí vì b và c là số lẻVậy nên chỉ có trường hợp 2 xảy ra.

Tương tự, nếu b chia hết cho 4 thì (c + b), (c – b) là số lẻ, một trong hai số (c + a), (c – a) chia hết cho 8.

Trong bốn số (a + c), (b + c), (c − a), (c − b) có đúng một số chia hết cho 9.

Chứng minh

Trong hai số a, b có đúng một số chia hết cho 3Giả sử a chia hết cho 3. (*)Do c không chia hết cho 3 nên (c + a) và (c – a) không chia hết cho 3.Từ (*) suy ra: a 2 {\displaystyle a^{2}} chia hết cho 9Suy ra: c 2 − b 2 {\displaystyle c^{2}-b^{2}} chia hết cho 9Suy ra: ( c + b ) ( c − b ) {\displaystyle (c+b)(c-b)} chia hết cho 9Trường hợp 1: Cả (c + b) và (c – b) đều chia hết cho 3Trường hợp 2: Trong 2 số (c + b), (c – b) chỉ có một số chia hết cho 9Từ trường hợp 1 suy ra: c và b cùng chia hết cho 3, vô lí vì c và b là hai số nguyên tố cùng nhauVậy nên chỉ có trường hợp 2 xảy ra.

Tương tự, nếu b chia hết cho 3 thì (c + b), (c – b) không chia hết cho 3, một trong hai số (c + a), (c – a) chia hết cho 9.

Trong sáu số a, b, (2a + b), (2a − b), (2b + a), (2b − a) có đúng một số chia hết cho 11.
Trong bảy số a, b, c, (3a + b), (3a − b), (3b + a), (3b − a) có đúng một số chia hết cho 13.
Tất cả các ước của c đều là những số có dạng 4k + 1.

Chứng minh

Giả sử c = m 2 + n 2 {\displaystyle c=m^{2}+n^{2}} có ước nguyên tố p có dạng 4k+3, suy ra:

m 2 {\displaystyle m^{2}} đồng dư với − n 2 {\displaystyle -n^{2}} mod p.Suy ra m 2 ( 2 k + 1 ) {\displaystyle m^{2(2k+1)}} đồng dư với − n 2 ( 2 k + 1 ) {\displaystyle -n^{2(2k+1)}} mod p.Suy ra m p − 1 {\displaystyle m^{p-1}} đồng dư với − n p − 1 {\displaystyle -n^{p-1}} mod p.

Do m,n nguyên tố cùng nhau, do đó chúng đều không chia hết cho p.Suy ra, theo định lý Fermat nhỏ m p − 1 {\displaystyle m^{p-1}} đồng dư với 1 mod p, và − n p − 1 {\displaystyle -n^{p-1}} đồng dư với -1 mod p.Suy ra 1+1 chia hết cho p, vô lý vì p có dạng 4k+3.

Mặt khác c lẻ do đó p lẻ. Tóm lại p chỉ có dạng 4k+1. Suy ra mọi ước của c đều có dạng 4k+1.

Tất cả các số tự nhiên "lớn hơn 2 và không phải số có dạng 4k + 2" luôn thuộc một bộ ba Pitago nguyên thủy nào đó.
Tất cả các số tự nhiên lớn hơn 2 đều thuộc một bộ Pythagoras nào đó (nguyên thủy hoặc không), ví dụ các số 6,10,14 và 18 không thuộc một bộ ba Pythagoras nguyên thủy nào, nhưng lại thuộc một bộ ba Pythagoras không nguyên thủy 6, 8, 10; 14, 48, 50 và 18, 80, 82.
Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn bằng 1 ("cạnh góc vuông lớn" là cạnh có độ dài lớn hơn trong hai cạnh góc vuông). Tổng quát: Với số nguyên j lẻ bất kì, tồn tại vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông chẵn bằng j2.
Tồn tại vô số các bộ ba nguyên Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lớn bằng 2 ("cạnh góc vuông lớn" là cạnh có độ dài lớn hơn trong hai cạnh góc vuông). Tổng quát: Với số nguyên k > 0 bất kì, tồn tại vô số bộ ba Pythagoras nguyên thủy mà hiệu giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông lẻ bằng 2k2.
Nếu j và k là các số nguyên dương lẻ, không nhất thiết phân biệt, thì đúng một bộ ba Pythagoras nguyên thủy sao cho a + j 2 = c = b + 2 k . {\displaystyle a+j^{2}=c=b+2^{k}.}
Không có một bộ ba Pythagoras nguyên thủy nào mà hiệu giữa cạnh huyền và một cạnh góc vuông bằng một số nguyên tố lẻ.
Với mỗi số tự nhiên n, tồn tại n bộ ba Pythagoras có cùng diện tích, nhưng khác nhau ở độ dài cạnh huyền.
Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pythagoras khác nhau có cùng cạnh góc vuông a, với a là một số tự nhiên nào đó.
Với mỗi số tự nhiên n, có ít nhất n bộ ba Pythagoras khác nhau có cùng cạnh huyền.
Trong mỗi bộ ba Pythagoras, bán kính đường tròn nội tiếp và "3 bán kính của ba đường tròn bàng tiếp" là số tự nhiên. Bán kính đường tròn nội tiếp bằng r = n ( m − n ) {\displaystyle r=n(m-n)} .
Không có bộ ba Pythagoras nào mà cạnh huyền và 1 cạnh góc vuông lại là các cạnh góc vuông của bộ bộ ba Pythagoras nguyên thủy khác.
Không có hai bộ ba Pythagoras nguyên thuỷ nào có cùng chu vi.